线性代数笔记(一)
1. 向量
1.1. 什么是向量
- 为什么线性代数如此重要？
- 线性代数是从研究一个数拓展到一组数
- 一组数的表示方法————向量(Vector)
- 向量(Vector)是线性代数研究的基本元素
- 一组数有什么用？
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最基本的出发点：表示方向
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起始点不重要？
- 从$(-1,-1)$到$(3,2)$和从$(0，0)$到$(4,3)$是一样的，只是坐标系不同。
- 为了研究方便，我们定义向量都从原点开始。
- 但是顺序是重要的！即向量是一组有序的数。
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- 如果只是表示方向，最多三个维度就够了
- 抽象化：n维向量
- 刻画事物的不同角度就可以理解为不同维度。比如刻画一个房子的信息：
面积 卧室 卫生间 最近地铁站(km) 价格(万) 120 3 2 2 666 就可以写为5维向量：(120,3,2,2,666)
- 此时，向量就是一组数，这组数的含义由使用者定义。
- 抽象化：n维向量
- 两个视角看似不同，但可以互相转换
- 一个方向，就是一个点；
- 空间中的一个点，可以看做从原点指向这个点的一个方向
- 在学习初始，使用方向的视角，更直观，更形象
- 更关键的是：这两个视角，都不是简单的“一组数”
- 一个是一个有向线段，另一个是空间中的点
- 一组数有什么用？
1.2. 向量的更多术语和表示法
- 更严格的一些定义：
- 和向量相对应，一个数字，称为标量
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代数，用符号代表数。和标量相区别，向量的符号画箭头：
\[\vec{v}\] -
个别情况下，尤其是几何学中，我们会考虑向量的起始点：
\[\overrightarrow{OA}\] -
行向量和列向量
\[(1,2)\qquad{行向量}\\[7pt]\\ \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\qquad{列向量}\] - 通常教材，论文，提到向量，都指向列向量
-
由于横版印刷原因，列向量有时使用符号：
\[(3,4)^{T}\]
1.3. Python代码实现向量类
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class vector:
def __init__(self,lst):
self._values = lst
#初始化类，将数组传入
def __len__(self):
#返回向量长度(youduoshaoyuansu )
return len(self._values)
def __getitem__(self,index):
#取向量的第index个元素
return self._values[index]
def __repr__(self):
return "Vector({})".format(self._values)
#使用__repr__魔法方法规定系统内调用vector类的格式
def __str__(self):
return "({})".format(",".join(str(e) for e in self._values))
__repr__和__str__方法的异同__str__是用户使用print函数调用的。
1.4. 向量的基本运算
-
向量加法
\[(5,2)^{T}+(2,5)^{T} = (7,7)^{T}\]- 平行四边形法则
- 两个向量相加，相当于他们在x轴和y轴位移增量的总加和，即：
多维空间中：
\[\begin{pmatrix} v_1\\\dots\\v_n \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} u_1\\\dots\\u_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1+u_1\\\dots\\v_n+u_n \end{pmatrix}\] -
数量乘法 同理，向量与标量的乘法即多次向量的加和：
\[k\times(a,b)^{T} = (ka,kb)^{T}\]多维向量中同理。
1.5. 实现向量的基本运算
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class vector:
def __init__(self,lst):
self._values = list(lst)
#构造函数，初始化类，将数组传入,用list方法复制lst变量，确保vector不可更改性
def __len__(self):
#返回向量长度(youduoshaoyuansu )
return len(self._values)
def __getitem__(self,index):
#取向量的第index个元素
return self._values[index]
def __repr__(self):
return "Vector({})".format(self._values)
#使用__repr__魔法方法规定系统内调用vector类的格式
def __str__(self):
return "({})".format(",".join(str(e) for e in self._values)
def __add__(self,another)
#向量加法，返回一个新的向量
assert len(self) == len(another),"Error"
return Vector([a+b for a,b in zip(self,another.)])
def __sub__(self,another):
#向量减法
assert len(self) == len(another),"Error"
return vector([a - b for a,b in zip(self,another)])
def __mul__(self,k):
#返回数量乘法的结果向量：self*k
return vector([a*k for a in self])
def __rmul__(self,k):
#返回数乘：k*self
return vector([a*k for a in self])#可以写为self*k
def __pos__(self):
#对结果取正
return 1 * self
def __neg__(self):
#对结果取负
return -1 * self
def __iter__(self)
#通过添加迭代器保证_values的私有性
return self._values.__iter__()
1.6. 向量运算的基本性质
- 类比代数运算：
- 交换律、结合律：
- 分配率：
1.7. 零向量
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零向量不是直接定义的，而是从推导出一个性质出发
\[{对于任意一个向量}\vec{u}{，}{都存在一个向量}O{,}{满足：}\vec{u}+O = \vec{u}\] -
证明：
\[\vec{u} = \begin{pmatrix}u_1\\u_2\\\dots\\u_n\end{pmatrix},O = \begin{pmatrix}o_1\\o_2\\\dots\\o_n\end{pmatrix}\qquad\vec{u}+O = \begin{pmatrix}u_1\\u_2\\\dots\\u_n\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} o_1\\o_2\\\dots\\o_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_1+ o_1\\u_2+o_2\\\dots\\u_n+o_n \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} u_1\\u_2\\\dots\\u_n \end{pmatrix}\]即：
\[\left\{ \begin{aligned} u_1 + o_1 &= u_1\\ u_2 + o_2 &= u_2\\ \dots\\ u_n + o_n &= u_n \end{aligned} \right.\]解方程得：
\[\left\{ \begin{aligned} o_1 &= 0\\ o_2 &= 0\\ \dots\\ o_n &= 0 \end{aligned} \right.\]故而有向量$O$：
\[O = \begin{pmatrix}0\\0\\\dots\\0\end{pmatrix}\]我们称这个向量，为零向量
- 注意：这个零向量$O$没有箭头
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同样地：
上述$\overrightarrow{-u}$唯一(反证法证明)，同时注意到：
\[\overrightarrow{-u} = -1 · \vec{u}\]1.8. 零向量的实现
- 注意到创建零向量的方法不是基于类中的子方法，而是要基于类的基本方法即类方法：
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class vector:
def __init__(self,lst):
self._values = list(lst)
#构造函数，初始化类，将数组传入,用list方法复制lst变量，确保vector不可更改性
@classmethod
def zero(cls,dim):
#返回一个dim维的零向量
return cls([0]*dim)
